变换

2D变换

  1. 缩放: 每一个轴都做对应的缩放
  2. 缩放矩阵: (sx, 0, 0, sy)，坐标左乘缩放矩阵可以得到缩放后的坐标
  3. 反射矩阵: (-1, 0, 0, 1)，绕一根轴做镜像操作，让x=-x，y=y
  4. 切变矩阵: (1, a, 0, 1)，拽住矩形上边，往右移动a距离，变成平行四边形
  5. 旋转: 按某一个点做逆时针旋转
  6. 旋转矩阵: (cos(θ), -sin(θ), sin(θ), cos(θ))
  7. 旋转矩阵的性质
    1. R(-θ) = (cos(θ), sin(θ), -sin(θ), cos(θ)) = Rθ的转置矩阵
    2. R(-θ) = Rθ的逆矩阵（根据定义）
    3. 旋转矩阵的转置矩阵与逆矩阵相等，所以旋转矩阵也是正交矩阵
  8. 线性变换: x1 = ax + by, x2 = cx + dy，用一个矩阵左乘一个坐标得到新的坐标的变换

齐次坐标系

  1. 为什么需要齐次坐标系: 平移没有办法表示成一个矩阵左乘一个坐标的形式，x1 = x + tx, y1 = y + ty
  2. 齐次坐标如何解决平移问题: 新增一个维度，点坐标变成(x, y, 1), 向量变成(x, y, 0)，这样平移矩阵则为(1, 0, tx, 0, 1, ty, 0, 0, 1)
  3. 为什么点和向量的新增维度是1和0: 点新增维度为1，是为了表示点+点=中点，即(x, y, w) => (x/w, y/w, 1)，向量新增维度为0，是为了向量的平移不变性，向量左乘平移矩阵还是原向量
  4. 仿射变换: x1 = ax + by + tx, y1 = cx + dy + ty，是线性变换和平移的统称
  5. 逆变换: 将变换后的坐标转换回变换之前的，坐标左乘逆矩阵

变换的组合

  1. 每一次变换都对应着一次左乘，表示为 An * An-1 * ... * A1 * (x, y)
  2. An * An-1 * ... A1得到的矩阵代表了一系列复杂变换的组合，该矩阵缓存起来可以减少计算量

复杂变换的分解

  1. 如何按给定点c进行旋转：先平移到原点，再做旋转，再平移回去，T(c) * R(a) * T(-c)

3D变换

  1. 与2D基本一致，点的坐标多了一个维度(x, y, z, 1)
  2. 4x4的仿射变换矩阵，先应用线性变换，再应用平移
  3. 缩放矩阵: (sx, 0, 0, 0, 0, sy, 0, 0, 0, 0, sz, 0, 0, 0, 0, 1)
  4. 平移矩阵: (1, 0, 0, tx, 0, 1, 0, ty, 0, 0, 1, tz, 0, 0, 0, 1)
  5. 旋转矩阵:
    1. 绕x轴: (1, 0, 0, 0, 0, cos, -sin, 0, 0, sin, cos, 0, 0, 0, 0, 1)
    2. 绕y轴: (cos, 0, sin, 0, 0, 1, 0, 0, -sin, 0, cos, 0, 0, 0, 0, 1)
    3. 绕z轴: (cos, -sin, 0, 0, sin, cos, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1)
    4. 绕任意轴: 先将轴平移至原点，将轴绕z绕y旋转至z轴重合，再绕z旋转指定角度，再按原来的变换做一次逆变换
    5. 罗德里格斯旋转公式: 向量的计算转为矩阵计算
    6. 四元数: 旋转与旋转的插值计算

视图变换

  1. 思考如何拍照？
    1. 选一个好的地方: 模型变换，model transformation
    2. 调整一个好的角度: 视图变换，view transformation
    3. 拍照: 投影变换，projection transformation
  2. 如何提现视图变换？
    1. 相机的位置：position
    2. 相机的朝向：look at direction
    3. 相机的向上方向：up direction
  3. 相机的思考
    1. 如果相机与物体一起运动，且互相之间没有相对运动，则最终成像是相同的
    2. 为了方便计算，默认将相机放在原点上，朝向-z方向，以Y为向上方向，其他物体按相机的变换做同等变换
  4. 如何将相机移动到原点，且保持朝向-z，y为上方向？
    1. 设相机位置为e，朝向向量为g，向上方向为t，且g,t为单位向量
    2. 做平移变换，这样相机坐标位于原点，(1, 0, 0, -xe, 0, 1, 0, -ye, 0, 0, 1, -ze, 0, 0, 0, 1)
    3. 将g旋转至-z方向，t旋转至y方向，gxt旋转至x方向
    4. 由于计算复杂，可以计算其逆变换，即x旋转至gxt，y旋转至t，z旋转至-g, (x(gxt), xt, x(-g), 0, y(gxt), yt, y(-g), 0, z(gxt), zt, (z-g), 0, 0, 0, 0, 1)
    5. 利用旋转矩阵特性，逆矩阵=转置矩阵，最终得到旋转矩阵，(x(gxt), y(gxt), z(gxt), 0, xt, yt, zt, 0, x(-g), y(-g), z(-g), 0, 0, 0, 0, 1)
    6. 视图矩阵 = 旋转矩阵 * 平移矩阵（这里是先平移，再旋转）
    7. 其他所有物体也按视图矩阵做变换

投影变换

  1. 本质：将3d物体转化为2d投影
  2. 分类：正交投影和透视投影
  3. 正交投影的变换矩阵
    1. 首先定义相机为一个立方体(left, right), (up, bottom), (far, near)
    2. 将该立方体中心平移至原点，(1, 0, 0, -(left + right)/2, 0, 1, 0, -(up+bottom)/2, 0, 0, 1, -(far+near)/2, 0, 0, 0, 1)
    3. 将该立方体缩放为[-1,1]的标准立方体，(2/(right-left), 0, 0, 0, 0, 2/(up-bottom), 0, 0, 0, 0, 2/(near-far), 0, 0, 0, 0, 1)
  4. 透视投影的变换矩阵
    1. 首先将透视矩阵远平面，压缩到跟近平面一样大，并且规定近平面和远平面的z轴值不变，且近平面不变，y1 = near / z * y， x1 = near / z * x
    2. (x, y, z, 1) => (near / z * x, near / z * y, unknown, 1) => (near * x, near * y, unknown, z)
    3. 变换矩阵为，(near, 0, 0, 0, 0, near, 0, 0, ?, ?, A, B, 0, 0, 1, 0)
    4. 近平面和远平面的z不变，取近平面任意点(x, y, near, 1)，和远平面中心点(0, 0, far, 1)，左乘变换矩阵，可得(near * x, near * y, near * A + B, near)，(0, 0, far * A + B, far)
    5. 求解方程组，near * A + B = near * near, far * A + B = far * far，可得，A = near + far, B = - near * far
    6. 所以透视投影到正交投影的转换矩阵为，(near, 0, 0, 0, 0, near, 0, 0, 0, 0, near + far, -near*far, 0, 0, 1, 0)
    7. 最后透视投影矩阵 = 正交投影矩阵 * 转换矩阵